OPERASI pada FUNGSI

Misal diketahui skalar real a
dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahkan f + g, Kurangkan f – g, dikalikan dengan skalar af, perkalian antara f.g, dan hasil bagi f/g masing-masing didefinisikan sebagai berikut:

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk

, .

Contoh: Jika f dan g masing-masing:

maka tentukan: f + g, f – g ,f . g , dan f/g beserta domainnya.

Penyelesaian:

Karena , maka f + g, f – g ,f . g , dan f/g masing-masing mempunyai domain:

JENIS - JENIS FUNGSI

Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif

Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu . Diberikan fungsi f : A -> B.

1. 
   
   Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function).
   
   
   

1. 
   
   Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi
   injektif atau fungsi 1-1 (into function).
   
   
   

1. 
   
   Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.
   
   
   
2. 
   
   
   
   
   

FUNGSI INVERS

INVERS

Diketahuifungsi . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.1.7 di bawah ini.

    Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . Perhatikan Gambar 2.1.8 berikut.

    

Jadi:

dengan    

Contoh 2.1.5 Tentukan jika diketahui .

Penyelesaian:

Jadi, .?

Contoh 2.1.6 Tentukan inversnya jika diketahui:

Penyelesaian: (i). Untuk , . Sehingga:

(ii). Untuk , . Sehingga, diperoleh: .

(iii).Untuk ,

atau:

Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:

.

RELASI

Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:

1. Himpunan A
   
2. Himpunan B
   
3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
   Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
   ® Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
   ® Bila tidak demikian maka a R b
   

B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:

1. Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)
   
2. Kalimat terbuka P(x,y)
   
3. Diagram cartesius ( diagram A x B )
   
4. Diagram panah
   
   ® bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:
   
   R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}
   
   Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.
   
   contoh :
   
   R = (A,B, P(x,y))
   A = {2,3,4}
   B = {3,4,5,6}
   P(x,y) menyatakan x pembagi y
   
   Himpunan penyelesaian relasi ini adalah
   
   a. Himpunan pasangan berurutan
   
   R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
   
   
   b. Diagram cartesius
   
   
   
   
   c. Diagram panah
   
   
   
   

RELASI INVERS

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai

R^-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R^-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE

Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.

Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }

Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.

Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}

contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}

PENGERTIAN FUNGSI

 FUNGSI

Fungsi / Pemetaan adalah sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memasangkan 

setiap himpunan anggota A tepat satu anggota pada himpunan B.

Gradien adalah ukuran kemiringan garis / grafik terhadap sumbu X positif pada sistem koordinat cartesius.
Lambang gradien adalah m.

Hubungan antara dua himpunan angka sering kita temui dalam dunia nyata. Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi . Contoh yang lain, tempat kedudukan titik-titik (x, y) dengan jarak 1 satuan dari titik pangkal O adalah x² +y²=1. Misalkan X menyatakan lebih besar atau sama dengan -1 dan lebih kecil atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan lebih besar atau sama dengan -1 dan lebih kecil atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen X berhubungan dengan satu atau lebih elemen pada Y.
Hubungan x² +y²=1 disebut relasi dari X ke Y. Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan tak kosong.

Jika R adalah relasi dari A ke B dan berelasi R dengan maka ditulis:

Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang mendasar. Pada contoh yang pertama setiap menentukan tepat satu . Sementara pada contoh yang ke dua, setiap berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai yang berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi.

Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap terdapat tepat satu sehingga .

Kita lihat contoh ini, misalkan X={1,2} dam Y={3,6}. Himpunan {(1,3), (2,3)} merupakan fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula, himpunan {(1,6),(2,3)} merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan {(1,3), (1,6),(2,3)} bukan merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y.

Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dan sebagainya. Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:

f : A
®
B

Maka, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi f ditulis dengan notasi D_f, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi:

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil
fungsi f, ditulis atau Im(f) (Gambar 2).

Jika pada fungsi f : A
®
B , sembarang elemen x
Î
A mempunyai kawan
y
Î
B, maka dikatakan “y merupakan bayangan x oleh f ” atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).

x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi
f.

Contoh 1 Tentukan domainnya.

a. b. c.

Penyelesaian:
1. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,

1. 
   

2. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:

1. 
   

3. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga:

1. 
   

=

Contoh 2. Jika , maka tentukan:

a. b. c. d.

Penyelesaian:

a. .

b. .

c. .

d. .


Internet dan LKS