TRIGONOMETRI, FUNGSI, dan DERET, BARISAN, ARITMATIKA dan GEOMETRI

Dasar - Dasar trigonometri, Pengertian Fungsi Relasi, Pengertian Pola, Deret, Barisan Aritmatika dan Geometri.

Senin, 18 Januari 2010

Barisan Geometri 1

  1. BARISAN GEOMETRI
    BARISAN GEOMETRI adalah sederetan bilangn yang berupa suku ( satuan ) atau unit ( U )dan di tulis secara berurutan, dimana perbandingan dua buah suku yang berurutan berharga konstan (tetap) dan dilambangkan rasio yang dilambangkan dg r.
    U1, U2, U3, ......., Un-1, Un disebut barisan geometri, jika

    U1/U2 = U3/U2 = .... = Un / Un-1 = konstanta

    Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)

    Rasio r = Un / Un-1

    Suku ke-n barisan geometri

    a, ar, ar² , .......arn-1
    U1, U2, U3,......,Un

    Suku ke n Un = arn-1



  2. DERET GEOMETRI

    a + ar² + ....... + arn-1 disebut deret geometri
    a = suku awal
    r = rasio
    n = banyak suku


    Jumlah n suku

    Sn = a(rn-1)/r-1 , jika r>1
          = a(1-rn)/1-r , jika r<1
      
    Keterangan:


    1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
    2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
      Un > Un-1
    3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      Un < Un-1

      Bergantian
      naik turun, jika r < 0

    4. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1
    5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
                _______      __________
      Ut =
      Ö U1xUn    = Ö U2 X Un-1      dst.

    6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar




  3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA

    Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari

    U1 + U2 + U3 + ..............................

    ¥
    å
    Un = a + ar + ar² .........................
    n=1

    dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rn ® 0

    Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :

    Jumlah tak berhingga    S¥ = a/(1-r)

    Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1

    Catatan:


    a + ar + ar2 + ar3 + ar4 + .................

    Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil

    a+ar2 +ar4+
    .......                     Sganjil = a / (1-r²)

    Jumlah suku-suku pada kedudukan genap

    a + ar3 + ar5 + ......                  Sgenap = ar / 1 -r²

    Didapat hubungan : Sgenap / Sganjil = r

PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M0, M1, M2, ............., Mn
M1 = M0 + P/100 (1) M0 = {1+P/100(1)}M0
M2 = M0 + P/100 (2) M0 = {1+P/100(2)} M0
.
.
.
.

Mn =M0 + P/100 (n) M0 ® Mn = {1 + P/100 (n) } M0


Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M0, M1, M2, .........., Mn
M1 = M0 + P/100 . M0 = (1 + P/100) M0
M2 = (1+P/100) M0 + P/100 (1 + P/100) M0 = (1 + P/100)(1+P/100)M0
     = (1 + P/100)² M0
.
.
.

Mn = {1 + P/100}n M0
Keterangan :
M0 = Modal awal
Mn = Modal setelah n periode
p   = Persen per periode atau suku bunga
n   = Banyaknya periode

Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).


internet dan LKS

Barisan Aritmatika 1


  • BARISAN ARITMATIKA
    BARISAN ARITMATIKA adalah suatu barisan yang selisih antara dua suku yang berurutan slalu tetap.
    U1, U2, U3, .......Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika
    U2 - U1 = U3 - U2 = .... = Un - Un-1 = konstanta

    Selisih ini disebut juga beda (b) = b =Un - Un-1

    Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                          U1, U2,   U3 ............., Un

    Rumus
    Suku ke-n :

    Un = a + (n-1)b = bn + (a-b)
    ® Fungsi linier dalam n





  • DERET ARITMATIKA

    a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

    a = suku awal
    b = beda
    n = banyak suku
    Un = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

    Jumlah n suku

    Sn = 1/2 n(a+Un)
          = 1/2 n[2a+(n-1)b]
          = 1/2bn² + (a - 1/2b)n
    ® Fungsi kuadrat (dalam n)

    Keterangan:




    1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = Sn")

    2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
      Barisan aritmatika akan turun jika
      b < 0

    3. Berlaku hubungan Un = Sn - Sn-1 atau Un = Sn' - 1/2 Sn"

    4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah

      Ut = 1/2 (U1 + Un) = 1/2 (U2 + Un-1)          dst.

    5. Sn = 1/2 n(a+ Un) = nUt ® Ut = Sn / n

    6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b


    Deret , Baris, dan Pola

    * BARISAN adalah urut-urutan bilangan dengan aturan tertentu.
     contoh :
                Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, .............
     
    * POLA adalah jajaran bilangan yang berbentuk bangun.
    misalnya :
                 Pola bilangan segitiga
                 Pola bilangan kuadrat/persegi

    * DERET BILANGAN adalah barisan bilangan yang dinyatakan dg tanda jumlah.
    contoh:
               1+3+5+7+................


    * NOTASI SIGMA adalah suatu cara untuk menyatakan bentuk penjumlahan yang singkat yang dilambangkan dengan " " dibaca "sigma" yang merupakan huruf umum yunani dr huruf S yang merupakan huruf pertama dr kata"SUM" yang artinya jumlah.


    *Suku-suku
    suatu barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah definisinya himpunan bilangan asli (n = natural = asli)
    Contoh:

    1. Un = 2n - 1
      adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n Î N = {1,2,3,.....}
      Barisan itu adalah : 1,3,5,7,....


    2. Diketahui barisan 1/3 , 1/6 , 1/9
      Rumus suku ke-n barisan ini adalah Un = 1/3n

    Rabu, 06 Januari 2010

    OPERASI pada FUNGSI

    Misal diketahui skalar real a
    dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahkan f + g, Kurangkan f – g, dikalikan dengan skalar af, perkalian antara f.g, dan hasil bagi f/g masing-masing didefinisikan sebagai berikut:






    Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk
    , .

    Contoh: Jika f dan g masing-masing:


    maka tentukan: f + g, f – g ,f . g , dan f/g beserta domainnya.
    Penyelesaian:


    Karena , maka f + g, f – g ,f . g , dan f/g masing-masing mempunyai domain:

    JENIS - JENIS FUNGSI

    Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif



    Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu . Diberikan fungsi f : A -> B.

    1. Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function).




    1. Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi
      injektif atau fungsi 1-1 (into function).





    1. Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.




    FUNGSI INVERS

    INVERS
    Diketahuifungsi . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.1.7 di bawah ini.


        Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . Perhatikan Gambar 2.1.8 berikut.
        



    Jadi:

    dengan    


    Contoh 2.1.5 Tentukan jika diketahui .

    Penyelesaian:





    Jadi, .?

    Contoh 2.1.6 Tentukan inversnya jika diketahui:

    Penyelesaian: (i). Untuk , . Sehingga:

    (ii). Untuk , . Sehingga, diperoleh: .
    (iii).Untuk ,

    atau:

    Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:
    .

    RELASI

    Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.
    A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:
    1. Himpunan A
    2. Himpunan B
    3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
      Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
      ® Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
      ® Bila tidak demikian maka a R b
    B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:
    1. Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)
    2. Kalimat terbuka P(x,y)
    3. Diagram cartesius ( diagram A x B )
    4. Diagram panah

      ® bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:

      R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}

      Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.

      contoh :

      R = (A,B, P(x,y))
      A = {2,3,4}
      B = {3,4,5,6}
      P(x,y) menyatakan x pembagi y

      Himpunan penyelesaian relasi ini adalah

      a. Himpunan pasangan berurutan

      R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}


      b. Diagram cartesius




      c. Diagram panah



    RELASI INVERS

    Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai
    R-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}
    contoh:
    A = {1,2,3}; B = {a,b}
    R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
    R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

    DOMAIN DAN RANGE
    Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.
    Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }
    Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.
    Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}
    contoh:
    A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
    R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
    Domain = {2,4}
    Range = {a,c}

    PENGERTIAN FUNGSI

     FUNGSI

    Fungsi / Pemetaan adalah sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memasangkan 

    setiap himpunan anggota A tepat satu anggota pada himpunan B.

    Gradien adalah ukuran kemiringan garis / grafik terhadap sumbu X positif pada sistem koordinat cartesius.
    Lambang gradien adalah m.

    Hubungan antara dua himpunan angka sering kita temui dalam dunia nyata. Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi . Contoh yang lain, tempat kedudukan titik-titik (x, y) dengan jarak 1 satuan dari titik pangkal O adalah x2 +y2=1. Misalkan X menyatakan lebih besar atau sama dengan -1 dan lebih kecil atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan lebih besar atau sama dengan -1 dan lebih kecil atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen X berhubungan dengan satu atau lebih elemen pada Y.
    Hubungan x2 +y2=1 disebut relasi dari X ke Y. Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan tak kosong.



    Jika R adalah relasi dari A ke B dan berelasi R dengan maka ditulis:

    Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang mendasar. Pada contoh yang pertama setiap menentukan tepat satu . Sementara pada contoh yang ke dua, setiap berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai yang berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi.



    Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap terdapat tepat satu sehingga .
    Kita lihat contoh ini, misalkan X={1,2} dam Y={3,6}. Himpunan {(1,3), (2,3)} merupakan fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula, himpunan {(1,6),(2,3)} merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan {(1,3), (1,6),(2,3)} bukan merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y.
    Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dan sebagainya. Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:
    f : A
    ®
    B
    Maka, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi:



    Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil
    fungsi f, ditulis atau Im(f) (Gambar 2).





    Jika pada fungsi f : A
    ®
    B , sembarang elemen x
    Î
    A mempunyai kawan
    y
    Î
    B, maka dikatakan “y merupakan bayangan x oleh f ” atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).


    x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi
    f.


    Contoh 1 Tentukan domainnya.

    a. b. c.

    Penyelesaian:
    1. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,



    2. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:



    3. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga:




    =
    Contoh 2. Jika , maka tentukan:

    a. b. c. d.

    Penyelesaian:

    a. .

    b. .

    c. .

    d. .


    Internet dan LKS