Rumus-Rumus Trigonometri

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b) sin(a + b)  = sin a cos b + cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b tg(a + b )   = tg a + tg b                  1 - tg2a SELISIH DUA SUDUT (a - b) sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b tg(a - b )   = tg a - tg b                  1 + tg2a SUDUT RANGKAP sin 2a  = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a - sin2 a = 2 cos2a - 1 = 1 - 2 sin2a tg 2a  =  2 tg 2a              1 - tg2a sin a cos a = ½ sin 2a cos2a = ½(1 + cos 2a) sin2a  = ½ (1 - cos 2a) Secara umum : sin na  = 2 sin ½na cos ½na cos na = cos2 ½na - 1 = 2 cos2 ½na - 1 = 1 - 2 sin2 ½na tg na =   2 tg ½na              1 - tg2 ½na JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b                                 2              2 sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b                                 2             2 cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b                                  2              2 cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b                                   2             2 BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN 2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b) PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA Bentuk a cos x + b sin x Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a) a cos x + b sin x = K cos (x-a) dengan :                                   K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ? Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut I II III IV a + - - + b + + - - keterangan : a = koefisien cos x b = koefisien sin x PERSAMAAN I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°                          x2 = (180° - a) + n.360°    cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°    tg x = tg a Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat) II. a cos x + b sin x = c      a cos x + b sin x = C             K cos (x-a) = C                cos (x-a) = C/K      syarat persamaan ini dapat diselesaikan      -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar) misalkan C/K = cos b   cos (x - a) = cos b         (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360° Internet dan LKS

Bagian 9

rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus

rumus ini berbeda dengan rumus penjumlahan sudut, karena disini yang dijumlahkan bukan sudut melainkan fungsi trigonometri. rumus ini dapat kita kembangkan dari rumus perkalian sinus dan cosinus, seperti biasa proses pengembangan rumus dapat dilihat dari buku cetak matematika

sin α + sin β = 2 sin ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
sin α – sin β = 2 cos ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )
cos α + cos β = 2 cos ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
cos α – cos β = - 2 sin ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )


Internet dan LKS 

Bagian 8

rumus perkalian sinus dan kosinus

sekarang kita akan mempelajari bagaimana mengalikan fungsi trigonometri, pada dasarnya rumus ini hasil pengembangan dari rumus penjumlahan sudut dengan cara eliminasi atau bisa juga dengan cara substitusi, seperti biasa cara pengembangannya dapat dilihat dibuku cetak matematika

sin α cos β = ½ { sin ( α + β ) + sin ( α – β ) }
cos α sin β = ½ { sin ( α + β ) – sin ( α – β ) }
cos α cos β = ½ { cos ( α + β ) + cos ( α – β ) }
sin α sin β = - ½ { cos ( α + β ) – cos ( α – β ) }


Internet dan LKS 

Bagian 7

 rumus trigonometri sudut pertengahan

setelah mendapatkan rumus trigonometri sudut rangkap dari pengembangan rumus penjumlahan sudut, dan sekarang kita mengembangkan rumus trigonometri sudut rangkap menjadi rumus sudut pertengahan, adapun langkah dari pengembangan tersebut dapat dilihat dari buku cetak matematika.

sin ½α = / 1 – cos α
√ 2

cos ½α = / 1 + cos α
√ 2

tan ½α = / 1 – cos α
√ 1 + cos α

bentuk lain dari rumus tan ½α

tan ½α = sin α
1 + cos α

tan ½α = 1 – cos α
sin α


Internet dan LKS 

Bagian 6

rumus trigonometri sudut rangkap

untuk memahami rumus ini, ada baiknya kita mengingat kembali rumus penjumlahan sudut dimana

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β
tan ( α + β ) = tan α + tan β
1 - tan α tan β

langkah selanjutnya kita mengganti variabel b dengan a, maka akan kita dapati rumus sudut rangkap sebagai berikut :

sin ( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α
sin ( 2 α ) = 2 sin α cos α

cos ( α + α ) = cos α cos α – sin α sin α
cos ( 2 α ) = cos² α – sin² α

tan ( α + α ) = tan α + tan α
1 - tan α tan α
tan ( 2 α ) = 2 tan α
1 – tan² α




Internet dan LKS 

Bagian 5

Rumus penjumlahan dan pengurangan 2 sudut

untuk menjumlahkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti :

sin ( α + β )
cos ( α + β )
tan ( α + β )

dapat menggunakan rumus penjumlahan sebagai berikut :

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β
tan ( α + β ) = tan α + tan β
1 - tan α tan β

dan untuk mengurangkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti :

sin ( α - β )
cos ( α – β )
tan ( α – β )

dapat menggunakan rumus pengurangan sebagai berikut :

sin ( α – β ) = sin α cos β – cos α sin β
cos ( α – β ) = cos α cos β + sin α sin β
tan ( α – β ) = tan α – tan β
1 + tan α tan β

kalau kita lihat kedua aturan diatas memiliki kesamaan dan hanya dibedakan tanda plus dan minus, berarti kita hanya perlu mengingat aturan penjumlahan saja dan secara otomatis kita dapat mengingat rumus pengurangannya.

agar kita dapat lebih memahami aturan penjumlahan dan pengurangan, ada baiknya kita mengetahui bagaimana cara mendapatkan aturan tersebut. cara tersebut dapat dilihat diberbagai buku cetak pelajaran. 


Internet dan LKS 

Bagian 4

sifat fungsi terhadap kuadran

setelah sudut disederhanakan, kita juga mesti memerhatikan sifat fungsi terhadap kuadran posisi ia berada. perhatikan gambar berikut :

pada kuadran I ( besar sudut antara 0 sampai 90 ), semua fungsi bernilai positif,
pada kuadran II ( besar sudut antara 90 sampai 180 ), fungsi sin bernilai positif yang lain negatif,
pada kuadran III ( besar sudut antara 180 sampai 270 ), fungsi tan bernilai positif yang lain negatif,
pada kuadran IV ( besar sudut antara 270 sampai 360 ), fungsi cos bernilai positif yang lain negatif.

agar lebih memahami, perhatikan contoh berkut :

s: berapa nilai dari cos 120 ?
j: cos 120
cos (180 - 120 ) _______( i )
- cos 60 _____________( ii )
- ½ ________________( iii )

keterangan
( i ) menggunakan konversi sudut.
( ii ) menggunakan sifat fungsi terhadap kuadran.
( iii ) menggunakan sudut istimewa.

SISTEM KOORDINAT


Sistem koordinat adalah suatu metode untuk menentukan letak suatu titik dalam grafik. Ada beberapa macam system koordinat yaitu: 

• Sistem Koordinat Cartesius,
  
• Sistem Koordinat Kutub,
• Sistem Koordinat Tabung, dan
• Sistem Koordinat Bola.

Sistem Koordinat Cartesius Koordinat ini terdiri dari 2 garis saling tegak lurus, yaitu satu mendatar (horizontal) dan yang lain tegak (vertikal). Garis mendatar ini disebut sumbu-x sedangkan garis yang tegak disebut sumbu-y. Perpotongan kedua sumbu tersebut dinamakan titik asal (origin) dan diberi tanda O. Seperti biasanya, titik-titik di sebelah kanan O nilainya adalah positif (bilangan-bilangan real positif) sedangkan titik-titik di sebelah kiri O dengan bilangan-bilangan real negatif. Demikian pula dengan titik-titik di sebelah atas O dan di sebelah bawah O masing-masing dikaitkan dengan bilangan-bilangan real positif dan negatif. Oleh ke dua sumbu, bidang datar (bidang koordinat) terbagi menjadi 4 daerah (kwadran), yaitu kwadran I, kwadran II, kwadran III, dan kwadran IV Gambar Koordinat Katesius dan kwadrannya Letak sembarang titik pada bidang dinyatakan dengan pasangan variable berurutan (x,y). Titik P(x,y) berarti bahwa jarak titik P ke sumbu-x dan sumbu-y masing-masing adalah |y| dan |x|. Apabila x < 0 (atau y < 0) maka titik P berada di sebelah kiri (atau sebelah bawah) titik asal O dan apabila x > 0 (atau y > 0) maka titik P terletak di sebelah kanan (atau sebelah atas) titik asal O. Dalam hal ini, x disebut absis titik P sedangkan y disebut ordinat titik P.


Internet dan LKS

Bagian 3

Konversi sudut

jika nilai sudut berada diluar kisaran 0 sampai 90 maka kita dapat menyederhanakannya dengan menggunakan aturan sebagai berikut :

jika sudut berada pada kisaran 90 sampai 180, maka
α = ( 180 – α )
jika sudut berada pada kisaran 180 sampai 270, maka
α = ( α – 180 )
jika sudut berada pada kisaran 270 sampai 360 maka
α = ( 360 – α )

kita juga dapat menggunakan aturan pencerminan, dimana garis horizontalnya dapat dijadikan sebagai patokan. agar lebih memahami perhatikan gambar berikut :

contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut :

s: jika sudut yang diketahui adalah 150, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi ...
j: selisih dari 180 dengan 150 adalah 30, maka hasil penyederhanaannya adalah 30.

s: jika sudut yang diketahui adalah 225, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi ...
j: selisih dari 180 dengan 225 adalah 45, maka hasil penyederhanaannya adalah 45.

s: jika sudut yang diketahui adalah 300, maka sudut tersebut dapat disederhanakan menjadi ...
j: selisih dari 360 dengan 300 adalah 60, maka hasil penyederhanaannya adalah 60.

aturan pencerminan digunakan pada saat kita lupa dengan 3 aturan penyederhanaan tersebut, karena pada prinsipnya kedua aturan tersebut sama tapi aturan pencerminan dibantu dengan gambar supaya mudah diingat.


Internet dan LKS

Bagian 2

Sudut istimewa

dalam menentukan nilai dari fungsi trigonometri kita dapat menggunakan banyak cara, diantaranya :

menggunakan tabel fungsi trigonometri,
menggunakan kalkulator, dan
menggunakan sudut istimewa pada fungsi trigonometri.

penggunaan tabel fungsi trigonometri berguna pada saat kita menyelesaikan soal dengan sudut sembarang antara 0,00 hingga 90,00 dengan ketelitian yang cukup tinggi, sedangkan penggunaan kalkulator berguna pada saat kita memeriksa hasil dari usaha dalam menyelesaikan soal diatas tapi didalam UAN dan SPMB jarang sekali diperbolehkan menggunakan keduanya. penggunaan sudut istimewa sangat sering digunakan pada kedua ujian tersebut.

dengan memanfaatkan sudut istimewa pada fungsi trigonometri maka kita bisa mendapatkan nilai fungsi secara cepat, sudut-sudut tersebut ialah :

nilai-nilai tersebut didapat dari permisalan berikut :

contoh penggunaan gambar diatas sebagai berikut :

nilai dari sin 30 adalah ...
seperti kita ketahui bahwa sin adalah depan bagi miring, maka 1 ÷ 2 = ½.

nilai dari cos 30 adalah ...
cos adalah samping bagi miring, maka √3 ÷ 2 = ½ √3


Internet dan LKS 

TRIGONOMETRI

 Trigonometri

Sebelum kita membahas trigonometri secara lanjut ada baiknya kita membahas landasan teori trigonometri

Landasan teori

Maka :

sin α = y cosec α = 1
r sin α
cos α = x sec α = 1
r cos α
tan α = y cotan α = 1
x tan α

dengan memahami landasan teori ini, maka kita dapat memahami, menggunakan dan mengembangkannya menjadi rumus penjumlahan sudut, rumus trigonometri sudut rangkap, rumus trigonometri sudut pertengahan, rumus perkalian sinus dan cosinus, serta rumus penjumlahan sinus dan cosinus.

di bangku pendidikan kita diajarkan cara mudah untuk mengingat rumus dasar tersebut, yaitu: demi suami di desa, dimana

demi adalah depan dan miring (sin),
suami disamarkan menjadi sami adalah samping dan miring (cos)dan
desa adalah depan dan samping (tan).

supaya lebih jelas lihat gambar dibawah ini.

 


Internet dan LKS