Barisan Geometri 1

1. BARISAN GEOMETRI
   BARISAN GEOMETRI adalah sederetan bilangn yang berupa suku ( satuan ) atau unit ( U )dan di tulis secara berurutan, dimana perbandingan dua buah suku yang berurutan berharga konstan (tetap) dan dilambangkan rasio yang dilambangkan dg r.
   U₁, U₂, U₃, ......., U_n-1, U_n disebut barisan geometri, jika
   
   U₁/U₂ = U₃/U₂ = .... = U_n / U_n-1 = konstanta
   
   Konstanta ini disebut pembanding / rasio (r)
   
   Rasio r = U_n / U_n-1
   
   Suku ke-n barisan geometri
   
   a, ar, ar² , .......ar^n-1
   U₁, U₂, U₃,......,U_n
   
   Suku ke n U_n = ar^n-1
   
   
   
2. DERET GEOMETRI
   
   a + ar² + ....... + ar^n-1 disebut deret geometri
   a = suku awal
   r = rasio
   n = banyak suku
   
   Jumlah n suku
   
   Sn = a(rⁿ-1)/r-1 , jika r>1
         = a(1-rⁿ)/1-r , jika r<1   
   Keterangan:
   
   
   
   1. Rasio antara dua suku yang berurutan adalah tetap
      
   2. Barisan geometri akan naik, jika untuk setiap n berlaku
      U_n > U_n-1
      
   3. Barisan geometri akan turun, jika untuk setiap n berlaku
      U_n < U_n-1
      
      Bergantian naik turun, jika r < 0
      
      
   4. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1
      
   5. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
                _______      __________
      Ut = Ö U₁xU_n    = Ö U₂ X U_n-1      dst.
      
      
   6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri, maka untuk memudahkan perhitungan, misalkan bilangan-bilangan itu adalah a/r, a, ar
      
      
      
   
   
   
3. DERET GEOMETRI TAK BERHINGGA
   
   Deret Geometri tak berhingga adalah penjumlahan dari
   
   U₁ + U₂ + U₃ + ..............................
   
   ¥
   å Un = a + ar + ar² .........................
   n=1
   
   dimana n ® ¥ dan -1 < r < 1 sehingga rⁿ ® 0
   
   Dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri didapat :
   
   Jumlah tak berhingga    S_¥ = a/(1-r)
   
   Deret geometri tak berhingga akan konvergen (mempunyai jumlah) untuk -1 < r < 1
   
   Catatan:
   
   a + ar + ar² + ar³ + ar⁴ + .................
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil
   
   a+ar² +ar⁴+ .......                     S_ganjil = a / (1-r²)
   
   Jumlah suku-suku pada kedudukan genap
   
   a + ar³ + ar⁵ + ......                  S_genap = ar / 1 -r²
   
   Didapat hubungan : S_genap / S_ganjil = r
   

PENGGUNAAN
Perhitungan BUNGA TUNGGAL (Bunga dihitung berdasarkan modal awal)
M₀, M₁, M₂, ............., M_n
M₁ = M₀ + P/100 (1) M₀ = {1+P/100(1)}M₀
M₂ = M₀ + P/100 (2) M₀ = {1+P/100(2)} M₀
.
.
.
.
M_n =M₀ + P/100 (n) M₀ ® M^_n = {1 + P/100 (n) } M₀


Perhitungan BUNGA MAJEMUK (Bunga dihitung berdasarkan modal terakhir)
M₀, M₁, M₂, .........., M_n
M₁ = M₀ + P/100 . M₀ = (1 + P/100) M₀
M₂ = (1+P/100) M₀ + P/100 (1 + P/100) M₀ = (1 + P/100)(1+P/100)M₀
     = (1 + P/100)² M₀
.
.
.
Mn = {1 + P/100}ⁿ M₀
Keterangan :
M₀ = Modal awal
M_n = Modal setelah n periode
p   = Persen per periode atau suku bunga
n   = Banyaknya periode
Catatan:
Rumus bunga majemuk dapat juga dipakai untuk masalah pertumbuhan tanaman, perkembangan bakteri (p > 0) dan juga untuk masalah penyusutan mesin, peluruhan bahan radio aktif (p < 0).


internet dan LKS

Barisan Aritmatika 1

BARISAN ARITMATIKA
BARISAN ARITMATIKA adalah suatu barisan yang selisih antara dua suku yang berurutan slalu tetap.
U₁, U₂, U₃, .......U_n-1, U_n disebut barisan aritmatika, jika
U₂ - U₁ = U₃ - U₂ = .... = U_n - U_n-1 = konstanta

Selisih ini disebut juga beda (b) = b =U_n - U_n-1

Suku ke-n barisan aritmatika a, a+b, a+2b, ......... , a+(n-1)b
                                      U₁, U₂,   U₃ ............., U_n

Rumus Suku ke-n :

U_n = a + (n-1)b = bn + (a-b) ® Fungsi linier dalam n

DERET ARITMATIKA

a + (a+b) + (a+2b) + . . . . . . + (a + (n-1) b) disebut deret aritmatika.

a = suku awal
b = beda
n = banyak suku
U_n = a + (n - 1) b adalah suku ke-n

Jumlah n suku

Sn = 1/2 n(a+U_n)
      = 1/2 n[2a+(n-1)b]
      = 1/2bn² + (a - 1/2b)n ® Fungsi kuadrat (dalam n)

Keterangan:

1. Beda antara dua suku yang berurutan adalah tetap (b = S_n")
   
   
2. Barisan aritmatika akan naik jika b > 0
   Barisan aritmatika akan turun jika b < 0
   
   
3. Berlaku hubungan U_n = S_n - S_n-1 atau Un = S_n' - 1/2 S_n"
   
   
4. Jika banyaknya suku ganjil, maka suku tengah
   
   U_t = 1/2 (U₁ + U_n) = 1/2 (U₂ + U_n-1)          dst.
   
   
5. S_n = 1/2 n(a+ U_n) = nU_t ® U_t = Sn / n
   
   
6. Jika tiga bilangan membentuk suatu barisan aritmatika, maka untuk memudahkan perhitungan misalkan bilangan-bilangan itu adalah a - b , a , a + b
   

Deret , Baris, dan Pola

* BARISAN adalah urut-urutan bilangan dengan aturan tertentu.
 contoh :
            Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, .............
 
* POLA adalah jajaran bilangan yang berbentuk bangun.
misalnya :
             Pola bilangan segitiga
             Pola bilangan kuadrat/persegi

* DERET BILANGAN adalah barisan bilangan yang dinyatakan dg tanda jumlah.
contoh:
           1+3+5+7+................


* NOTASI SIGMA adalah suatu cara untuk menyatakan bentuk penjumlahan yang singkat yang dilambangkan dengan " " dibaca "sigma" yang merupakan huruf umum yunani dr huruf S yang merupakan huruf pertama dr kata"SUM" yang artinya jumlah.


*Suku-suku suatu barisan adalah nilai-nilai dari suatu fungsi yang daerah definisinya himpunan bilangan asli (n = natural = asli)
Contoh:

1. Un = 2n - 1
   adalah suku ke-n dari suatu barisan, dimana n Î N = {1,2,3,.....}
   Barisan itu adalah : 1,3,5,7,....
   
   
   
2. Diketahui barisan 1/3 , 1/6 , 1/9
   Rumus suku ke-n barisan ini adalah U_n = 1/3n

OPERASI pada FUNGSI

Misal diketahui skalar real a
dan fungsi-fungsi f dan g. Jumlahkan f + g, Kurangkan f – g, dikalikan dengan skalar af, perkalian antara f.g, dan hasil bagi f/g masing-masing didefinisikan sebagai berikut:

Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan domain f dan domain g, kecuali untuk

, .

Contoh: Jika f dan g masing-masing:

maka tentukan: f + g, f – g ,f . g , dan f/g beserta domainnya.

Penyelesaian:

Karena , maka f + g, f – g ,f . g , dan f/g masing-masing mempunyai domain:

JENIS - JENIS FUNGSI

Fungsi Surjektif, Fungsi Injektif, dan Fungsi Bijektif

Berikut diberikan beberapa fungsi yang memenuhi syarat-syarat tertentu . Diberikan fungsi f : A -> B.

1. 
   
   Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif atau fungsi pada (onto function).
   
   
   

1. 
   
   Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi
   injektif atau fungsi 1-1 (into function).
   
   
   

1. 
   
   Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1. Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.
   
   
   
2. 
   
   
   
   
   

FUNGSI INVERS

INVERS

Diketahuifungsi . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.1.7 di bawah ini.

    Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . Perhatikan Gambar 2.1.8 berikut.

    

Jadi:

dengan    

Contoh 2.1.5 Tentukan jika diketahui .

Penyelesaian:

Jadi, .?

Contoh 2.1.6 Tentukan inversnya jika diketahui:

Penyelesaian: (i). Untuk , . Sehingga:

(ii). Untuk , . Sehingga, diperoleh: .

(iii).Untuk ,

atau:

Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:

.

RELASI

Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:

1. Himpunan A
   
2. Himpunan B
   
3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
   Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
   ® Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
   ® Bila tidak demikian maka a R b
   

B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:

1. Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)
   
2. Kalimat terbuka P(x,y)
   
3. Diagram cartesius ( diagram A x B )
   
4. Diagram panah
   
   ® bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:
   
   R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}
   
   Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.
   
   contoh :
   
   R = (A,B, P(x,y))
   A = {2,3,4}
   B = {3,4,5,6}
   P(x,y) menyatakan x pembagi y
   
   Himpunan penyelesaian relasi ini adalah
   
   a. Himpunan pasangan berurutan
   
   R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
   
   
   b. Diagram cartesius
   
   
   
   
   c. Diagram panah
   
   
   
   

RELASI INVERS

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai

R^-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R^-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE

Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.

Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }

Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.

Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}

contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}

PENGERTIAN FUNGSI

 FUNGSI

Fungsi / Pemetaan adalah sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memasangkan 

setiap himpunan anggota A tepat satu anggota pada himpunan B.

Gradien adalah ukuran kemiringan garis / grafik terhadap sumbu X positif pada sistem koordinat cartesius.
Lambang gradien adalah m.

Hubungan antara dua himpunan angka sering kita temui dalam dunia nyata. Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi . Contoh yang lain, tempat kedudukan titik-titik (x, y) dengan jarak 1 satuan dari titik pangkal O adalah x² +y²=1. Misalkan X menyatakan lebih besar atau sama dengan -1 dan lebih kecil atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan lebih besar atau sama dengan -1 dan lebih kecil atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen X berhubungan dengan satu atau lebih elemen pada Y.
Hubungan x² +y²=1 disebut relasi dari X ke Y. Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan tak kosong.

Jika R adalah relasi dari A ke B dan berelasi R dengan maka ditulis:

Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang mendasar. Pada contoh yang pertama setiap menentukan tepat satu . Sementara pada contoh yang ke dua, setiap berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai yang berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi.

Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap terdapat tepat satu sehingga .

Kita lihat contoh ini, misalkan X={1,2} dam Y={3,6}. Himpunan {(1,3), (2,3)} merupakan fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula, himpunan {(1,6),(2,3)} merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan {(1,3), (1,6),(2,3)} bukan merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y.

Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dan sebagainya. Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:

f : A
®
B

Maka, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi f ditulis dengan notasi D_f, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi:

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil
fungsi f, ditulis atau Im(f) (Gambar 2).

Jika pada fungsi f : A
®
B , sembarang elemen x
Î
A mempunyai kawan
y
Î
B, maka dikatakan “y merupakan bayangan x oleh f ” atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).

x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi
f.

Contoh 1 Tentukan domainnya.

a. b. c.

Penyelesaian:
1. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,

1. 
   

2. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:

1. 
   

3. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga:

1. 
   

=

Contoh 2. Jika , maka tentukan:

a. b. c. d.

Penyelesaian:

a. .

b. .

c. .

d. .


Internet dan LKS