FUNGSI INVERS

INVERS

Diketahuifungsi . Kebalikan (invers) fungsi f adalah relasi g dari Y ke X. Pada umumnya, invers suatu fungsi belum tentu merupakan fungsi. Sebagai contoh, perhatikan Gambar 2.1.7 di bawah ini.

    Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi. Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . Perhatikan Gambar 2.1.8 berikut.

    

Jadi:

dengan    

Contoh 2.1.5 Tentukan jika diketahui .

Penyelesaian:

Jadi, .?

Contoh 2.1.6 Tentukan inversnya jika diketahui:

Penyelesaian: (i). Untuk , . Sehingga:

(ii). Untuk , . Sehingga, diperoleh: .

(iii).Untuk ,

atau:

Selanjutnya, dari (i), (ii), dan (iii) diperoleh:

.

RELASI

Hubungan/relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah suatu pemasangan anggota-anggota A dengan anggota-anggota B.

A. SEBUAH RELASI R TERDIRI DARI:

1. Himpunan A
   
2. Himpunan B
   
3. Sebuah kalimat terbuka P(x,y) yang menyatakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B.
   Dimana x bersesuaian dengan a Î A dengan y bersesuaian dengan b Î B.
   ® Bila P(a,b) betul maka a berelasi dengan b. Ditulis a R b
   ® Bila tidak demikian maka a R b
   

B. SEBUAH RELASI DAPAT DINYATAKAN DENGAN:

1. Himpunan Pasangan Berurutan (a,b)
   
2. Kalimat terbuka P(x,y)
   
3. Diagram cartesius ( diagram A x B )
   
4. Diagram panah
   
   ® bila R adalah sebuah relasi, maka himpunan dari relasi ini adalah:
   
   R = {(a,b) ½ a Î A; b Î B; P(a,b) adalah betul}
   
   Ket: Jika A=B, maka P(x,y) mendefinisikan sebuah relasi di dalam A.
   
   contoh :
   
   R = (A,B, P(x,y))
   A = {2,3,4}
   B = {3,4,5,6}
   P(x,y) menyatakan x pembagi y
   
   Himpunan penyelesaian relasi ini adalah
   
   a. Himpunan pasangan berurutan
   
   R = {(2,4), (2,6), (3,3), (3,6), (4,4)}
   
   
   b. Diagram cartesius
   
   
   
   
   c. Diagram panah
   
   
   
   

RELASI INVERS

Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai

R^-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}

contoh:

A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R^-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE

Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.

Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }

Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.

Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}

contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}

PENGERTIAN FUNGSI

 FUNGSI

Fungsi / Pemetaan adalah sebuah relasi dari himpunan A ke himpunan B yang memasangkan 

setiap himpunan anggota A tepat satu anggota pada himpunan B.

Gradien adalah ukuran kemiringan garis / grafik terhadap sumbu X positif pada sistem koordinat cartesius.
Lambang gradien adalah m.

Hubungan antara dua himpunan angka sering kita temui dalam dunia nyata. Sebagai contoh, volume bola dengan jari-jari r diberikan oleh relasi . Contoh yang lain, tempat kedudukan titik-titik (x, y) dengan jarak 1 satuan dari titik pangkal O adalah x² +y²=1. Misalkan X menyatakan lebih besar atau sama dengan -1 dan lebih kecil atau sama dengan 1, sedangkan Y himpunan lebih besar atau sama dengan -1 dan lebih kecil atau sama dengan 1. Maka elemen-elemen X berhubungan dengan satu atau lebih elemen pada Y.
Hubungan x² +y²=1 disebut relasi dari X ke Y. Secara umum, apabila A dan B masing-masing himpunan yang tidak kosong maka relasi dari A ke B didefinisikan sebagai himpunan tak kosong.

Jika R adalah relasi dari A ke B dan berelasi R dengan maka ditulis:

Apabila diperhatikan secara seksama, ternyata dua contoh di atas mempunyai perbedaan yang mendasar. Pada contoh yang pertama setiap menentukan tepat satu . Sementara pada contoh yang ke dua, setiap berelasi dengan beberapa (dalam hal ini dua) nilai yang berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut fungsi.

Jadi, relasi R dari A ke B disebut fungsi jika untuk setiap terdapat tepat satu sehingga .

Kita lihat contoh ini, misalkan X={1,2} dam Y={3,6}. Himpunan {(1,3), (2,3)} merupakan fungsi dari X ke Y, karena setiap anggota X berelasi dengan tepat satu anggota Y. Demikian pula, himpunan {(1,6),(2,3)} merupakan fungsi dari X ke Y. Sementara himpunan {(1,3), (1,6),(2,3)} bukan merupakan fungsi dari X ke Y, karena ada anggota X, yaitu 1, yang menentukan lebih dari satu nilai di Y.

Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dan sebagainya. Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:

f : A
®
B

Maka, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f. Domain fungsi f ditulis dengan notasi D_f, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain fungsi f adalah himpunan terbesar di dalam R sehingga f terdefinisikan atau ada. Jadi:

Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakan range atau daerah hasil
fungsi f, ditulis atau Im(f) (Gambar 2).

Jika pada fungsi f : A
®
B , sembarang elemen x
Î
A mempunyai kawan
y
Î
B, maka dikatakan “y merupakan bayangan x oleh f ” atau “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).

x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi
f.

Contoh 1 Tentukan domainnya.

a. b. c.

Penyelesaian:
1. Suatu hasil bagi akan memiliki arti apabila penyebut tidak nol. Oleh karena itu,

1. 
   

2. Karena akar suatu bilangan ada hanya apabila bilangan tersebut tak negatif, maka:

1. 
   

3. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masing-masing sukunya terdefinsikan. Sehingga:

1. 
   

=

Contoh 2. Jika , maka tentukan:

a. b. c. d.

Penyelesaian:

a. .

b. .

c. .

d. .


Internet dan LKS 

FUNGSI dan RELASI

NOTASI

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

atau

Fungsi sebagai Relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain, Kodomain, dam Range

Domain adalah daerah asal

Kodomain adalah daerah kawan sedangkan

Range adalah daerah hasil

Jenis-jenis fungsi

1. Fungsi satu-satu

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂)

2. Fungsi kepada

3. Fungsi injektif : Bila hanya bila setiap anggota B mempunyai kawanan tunggal dI A.

4. Fungsi surjektif (onto) : Bila hanya bila setiap anggota B mempunyai kawanan di A (tidak harus tunggal )

5. Fungsi bijektif  : Bila hanya bila fungsi tersebut bersifat injektif sekaligus surjektif (korespondensi satu satu), maka jumlah anggota kedua harus sama n (A) = n (B)

 

Internet dan LKS