FUNGSI dan RELASI

NOTASI

Untuk mendefinisikan fungsi dapat digunakan notasi berikut.

Dengan demikian kita telah mendefinisikan fungsi f yang memetakan setiap elemen himpunan A kepada B. Notasi ini hanya mengatakan bahwa ada sebuah fungsi f yang memetakan dua himpunan, A kepada B. Tetapi bagaimana tepatnya pemetaan tersebut tidaklah terungkapkan dengan baik. Maka kita dapat menggunakan notasi lain.

atau

Fungsi sebagai Relasi

Sebuah fungsi f dapat dimengerti sebagai relasi antara dua himpunan, dengan unsur pertama hanya dipakai sekali dalam relasi tersebut.

Domain, Kodomain, dam Range

Domain adalah daerah asal

Kodomain adalah daerah kawan sedangkan

Range adalah daerah hasil

Jenis-jenis fungsi

1. Fungsi satu-satu

Fungsi f: A → B disebut fungsi satu-satu atau fungsi injektif jika dan hanya jika untuk sebarang a₁ dan a₂ dengan a₁ tidak sama dengan a₂ berlaku f(a₁) tidak sama dengan f(a₂)

2. Fungsi kepada

3. Fungsi injektif : Bila hanya bila setiap anggota B mempunyai kawanan tunggal dI A.

4. Fungsi surjektif (onto) : Bila hanya bila setiap anggota B mempunyai kawanan di A (tidak harus tunggal )

5. Fungsi bijektif  : Bila hanya bila fungsi tersebut bersifat injektif sekaligus surjektif (korespondensi satu satu), maka jumlah anggota kedua harus sama n (A) = n (B)

 

Internet dan LKS  

Rumus-Rumus Trigonometri

PENJUMLAHAN DUA SUDUT (a + b) sin(a + b)  = sin a cos b + cos a sin b cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b tg(a + b )   = tg a + tg b                  1 - tg2a SELISIH DUA SUDUT (a - b) sin(a - b)  = sin a cos b - cos a sin b cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b tg(a - b )   = tg a - tg b                  1 + tg2a SUDUT RANGKAP sin 2a  = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a - sin2 a = 2 cos2a - 1 = 1 - 2 sin2a tg 2a  =  2 tg 2a              1 - tg2a sin a cos a = ½ sin 2a cos2a = ½(1 + cos 2a) sin2a  = ½ (1 - cos 2a) Secara umum : sin na  = 2 sin ½na cos ½na cos na = cos2 ½na - 1 = 2 cos2 ½na - 1 = 1 - 2 sin2 ½na tg na =   2 tg ½na              1 - tg2 ½na JUMLAH SELISIH DUA FUNGSI YANG SENAMA BENTUK PENJUMLAHAN ® PERKALIAN sin a + sin b   = 2 sin a + b    cos a - b                                 2              2 sin a - sin b   = 2 cos a + b    sin a - b                                 2             2 cos a + cos b = 2 cos a + b    cos a - b                                  2              2 cos a + cos b = - 2 sin a + b   sin a - b                                   2             2 BENTUK PERKALIAN ® PENJUMLAHAN 2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b) 2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b) 2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b) - 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b) PENJUMLAHAN FUNGSI YANG BERBEDA Bentuk a cos x + b sin x Merubah bentuk a cos x + b sin x ke dalam bentuk K cos (x - a) a cos x + b sin x = K cos (x-a) dengan :                                   K = Öa2 + b2 dan tg a = b/a Þ a = ... ? Kuadran dari a ditentukan oleh kombinasi tanda a dan b sebagai berikut I II III IV a + - - + b + + - - keterangan : a = koefisien cos x b = koefisien sin x PERSAMAAN I. sin x = sin a Þ x1 = a + n.360°                          x2 = (180° - a) + n.360°    cos x = cos a Þ x = ± a + n.360°    tg x = tg a Þ x = a + n.180°    (n = bilangan bulat) II. a cos x + b sin x = c      a cos x + b sin x = C             K cos (x-a) = C                cos (x-a) = C/K      syarat persamaan ini dapat diselesaikan      -1 £ C/K £ 1 atau K² ³ C² (bila K dalam bentuk akar) misalkan C/K = cos b   cos (x - a) = cos b         (x - a) = ± b + n.360° ® x = (a ± b) + n.360° Internet dan LKS

Bagian 9

rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan cosinus

rumus ini berbeda dengan rumus penjumlahan sudut, karena disini yang dijumlahkan bukan sudut melainkan fungsi trigonometri. rumus ini dapat kita kembangkan dari rumus perkalian sinus dan cosinus, seperti biasa proses pengembangan rumus dapat dilihat dari buku cetak matematika

sin α + sin β = 2 sin ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
sin α – sin β = 2 cos ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )
cos α + cos β = 2 cos ½ ( α + β ) cos ½ ( α – β )
cos α – cos β = - 2 sin ½ ( α + β ) sin ½ ( α – β )


Internet dan LKS 

Bagian 8

rumus perkalian sinus dan kosinus

sekarang kita akan mempelajari bagaimana mengalikan fungsi trigonometri, pada dasarnya rumus ini hasil pengembangan dari rumus penjumlahan sudut dengan cara eliminasi atau bisa juga dengan cara substitusi, seperti biasa cara pengembangannya dapat dilihat dibuku cetak matematika

sin α cos β = ½ { sin ( α + β ) + sin ( α – β ) }
cos α sin β = ½ { sin ( α + β ) – sin ( α – β ) }
cos α cos β = ½ { cos ( α + β ) + cos ( α – β ) }
sin α sin β = - ½ { cos ( α + β ) – cos ( α – β ) }


Internet dan LKS 

Bagian 7

 rumus trigonometri sudut pertengahan

setelah mendapatkan rumus trigonometri sudut rangkap dari pengembangan rumus penjumlahan sudut, dan sekarang kita mengembangkan rumus trigonometri sudut rangkap menjadi rumus sudut pertengahan, adapun langkah dari pengembangan tersebut dapat dilihat dari buku cetak matematika.

sin ½α = / 1 – cos α
√ 2

cos ½α = / 1 + cos α
√ 2

tan ½α = / 1 – cos α
√ 1 + cos α

bentuk lain dari rumus tan ½α

tan ½α = sin α
1 + cos α

tan ½α = 1 – cos α
sin α


Internet dan LKS 

Bagian 6

rumus trigonometri sudut rangkap

untuk memahami rumus ini, ada baiknya kita mengingat kembali rumus penjumlahan sudut dimana

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β
tan ( α + β ) = tan α + tan β
1 - tan α tan β

langkah selanjutnya kita mengganti variabel b dengan a, maka akan kita dapati rumus sudut rangkap sebagai berikut :

sin ( α + α ) = sin α cos α + cos α sin α
sin ( 2 α ) = 2 sin α cos α

cos ( α + α ) = cos α cos α – sin α sin α
cos ( 2 α ) = cos² α – sin² α

tan ( α + α ) = tan α + tan α
1 - tan α tan α
tan ( 2 α ) = 2 tan α
1 – tan² α




Internet dan LKS 

Bagian 5

Rumus penjumlahan dan pengurangan 2 sudut

untuk menjumlahkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti :

sin ( α + β )
cos ( α + β )
tan ( α + β )

dapat menggunakan rumus penjumlahan sebagai berikut :

sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β
cos ( α + β ) = cos α cos β – sin α sin β
tan ( α + β ) = tan α + tan β
1 - tan α tan β

dan untuk mengurangkan 2 sudut dalam satu fungsi seperti :

sin ( α - β )
cos ( α – β )
tan ( α – β )

dapat menggunakan rumus pengurangan sebagai berikut :

sin ( α – β ) = sin α cos β – cos α sin β
cos ( α – β ) = cos α cos β + sin α sin β
tan ( α – β ) = tan α – tan β
1 + tan α tan β

kalau kita lihat kedua aturan diatas memiliki kesamaan dan hanya dibedakan tanda plus dan minus, berarti kita hanya perlu mengingat aturan penjumlahan saja dan secara otomatis kita dapat mengingat rumus pengurangannya.

agar kita dapat lebih memahami aturan penjumlahan dan pengurangan, ada baiknya kita mengetahui bagaimana cara mendapatkan aturan tersebut. cara tersebut dapat dilihat diberbagai buku cetak pelajaran. 


Internet dan LKS